Analisi Matematica

analisi matematica esercizi

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volume solido di rotazione

SOLIDI DI ROTAZIONE

VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE

VOLUME DI UN CONO

 

SOLIDI DI ROTAZIONE

Sono solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta (asse di rotazione).

VOLUME DI UN SOLIDO DI ROTAZIONE

data una funzione f(x) continua e definita nell'intervallo [a,b] e non negativa in tale intervalo si indichi con T il trapezoide individuato dalla curva e dall'asse x in [a,b] come in figura.1. Ruotando T attorno all'asse x si genera un solido di rotazione come mostrato in figura 2 del quale si vuole determinare il volume.

trapezoide

figura 1 - Trapezoide.

 

Volume solido

figura 2 - solido di rotazione

per determinare il volume si divida l'intervallo [a,b] in un numero n di part uguali, ciascuna di ampiezza Δx e si consideri il plurirettangolo inscritto nel trapezoide. Facendo ruotare ciscun rettangolo del plurirettangolo di un giro completo si ottiene  un solido formato dall'accostamento di n cilindri che hanno per altezze gli intervalli Δx e per base i cerchi con raggio f(x) (figura 3). Il volume di ciascuno degli n cilindri è dato dalla seguente espressione:

 

Volume approssimato

figura 3.

il volume del pluricilindro sarà quindi dato dalla somma dei volumi:

Il valore ottenuto è un valore approssimato per difetto sel solido S.

Facendo le opportune considerazioni il volume S si può calcolare mediante l'integrale definito espresso dalla seguente formula:

(a)

 

VOLUME DI UN CONO

Un cono si può ottenere dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad un cateto. Fissato il sistema di riferimento in modo che il cateto si trovi sull'asse x e abbia un vertice nell'origine del sistema di riferimento (si veda la figura 4).

 

Volume Cono

figura 4

Indicando con b la misura del cateto OA e con c la misura del cateto AB, e sapendo che la retta f(x) ha equazione f(x) = x c/b si può allora determinare il volume del cono utilizzando la relazione (a).

 

 

 

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