Analisi Matematica

analisi matematica esercizi

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Polinomi

 

POLINOMI

Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio è pari al massimo grado dei suoi termini.

ESEMPIO:

grado di un polinomio

ha grado = 5

 

Polinomio omogeneo

un polinomio si dice omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

 

 

PRODOTTI NOTEVOLI

Quadrato di un binomio

quadrato binomio


Quadrato di un trinomio

quadrato trinomio


Cubo di un binomio

cubo binomio


Differenza di quadrati

differenza di quadrati

 


Divisione di un polinomio in una variabile

Dati P(x) e D(x) polinomi diversi da zero nella variabile x, con grado di P(x) pari a m e grado di D(x) pari a n con m maggiore o uguale a n. E' possibile allora determinare univocamente:

Q(x) polinomio di grado pari a (m-n) e

R(x) polinomio di grado minore di m in modo che:

divisione tra polinomi

ovvero

divisione tra polinomi

 

Regola per la divisione tra polinomi

per dividere tra loro due polinomi P(X) e D(x) diversi da zero si devono seguire i passi illustrati in seguito:

1. -Si ordinano e si completano P(x) e D(x)

2. -Si divide il I termine di P(x) per il I termine di D(x), ottenendo così il quoziente parziale Qn(x) (n=1,2, ... rappresenta il numero di volte che viene ripetuto il procedimento)

3. -Si sottrae dal polinomio di partenza P(x) il prodotto Qn(x)D(x) ottenendo il primo resto parziale Rn(x) (n=1,2, ... rappresenta il numero di volte che viene ripetuto il procedimento)

4. -Si ripetono i passi 2 e 3 utilizzando anziché P(x) il resto ottenuto al passo 3 e si continua sino a che si ottiene come resto parziale zero oppure un polinomio o un numero di grado inferiore al grado di D(x).

ESEMPIO

divisione tra polinomi

TEOREMA DI RUFFINI

Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio di I grado del tipo (x-a) se e solo se P(a) = 0.

 

REGOLA DI RUFFINI

La regola di Ruffini consente di trovare il quoziente e il resto della divisione tra P(x) e D(x) quando D(x) è un binomio di primo grado in cui il coefficiente del termine di primo grado vale 1 ottenendo così un polinomio di grado n-1 e il resto della divisione.

 

Procedimento

  • Si deve ordinare il polinomio P(x) secondo le potenze decrescenti
  • Si costruisce una griglia con i coefficienti del polinomio P(x) ordinati tenendo il termine noto separato
  • In basso a sinistra si scrive il termine noto del divisore cambiato di segno
  • Si riporta come primo coefficiente del risultato il primo coefficiente del polinomio P(x)
  • Ogni coefficiente del risultato si moltiplica per il termine noto di D(x) cambiato di segno e il risultato si somma al successivo coefficiente P(x) trovando così tutti i coefficienti del risultato. Il resto è l'ultimo numero calcolato

regola di ruffini

 

ESEMPIO

Eseguire la seguente divisione:

esempio divisione con ruffini

 

esempio divisione con ruffini

Polinomio ordinato con potenze decrescenti, inserito nella griglia e termine noto cambiato di segno

 

 

 

esempio divisione con ruffini

Primo coefficiente del risultato pari al primo coefficiente del polinomio di partenza

 

esempio divisione con ruffini

Si moltiplica il primo coefficiente del risultato per il termine noto cambiato di segno e il risultato si somma al secondo coefficiente del polinomio di partenza

 

esempio divisione con ruffini

Si moltiplica il secondo coefficiente del risultato per il termine noto cambiato di segno e il risultato si somma al terzo coefficiente del polinomio di partenza

 

esempio divisione con ruffini

Si procede con lo stesso metodo utilizzato nei passi precedenti

Il risultato della divisione è pari a:

con resto 11

 

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

la scomposizione di un polinomio in fattori consiste nello scrivere il polinomio come prodotto di due o più polinomi di grado inferiore.

 

MASSIMO COMUNE DENOMINATORE M.C.D.

Il M.C.D. di due e più polinomi si ottiene nel seguente modo:

1. si scompongono in fattori i polinomi dati;

2. Il M.C.D. È dato dal prodotto dei polinomi comuni a quelli di partenza presi una volta sola con il minimo esponente.

 

MINIMO COMUNE MULTIPLO m.c.m.

Il m.c.m. di due e più polinomi si ottiene nel seguente modo:

1. si scompongono in fattori i polinomi dati;

2. il m.c.m.è un polinomio dato dal prodotto dei polinomi comuni e non comuni, presi una volta sola e con il massimo esponente.

 

 

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