Analisi Matematica

analisi matematica esercizi

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Equazioni

- DEFINIZIONE DI IDENTITA'

- DEFINIZIONE DI EQUAZIONE

- EQUAZIONE DETERMINATA - INDETERMINATA - IMPOSSIBILE

- PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

- SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

- EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

-- SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

DEFINIZIONE DI IDENTITA'

un'identità è un'espressione letterale che è verificata per qualsiasi valore si attribuisce alle incognite (lettere).

Ad esempio:

(a+2)2 = a2 + 4a + 4 è un'identità.

 

DEFINIZIONE DI EQUAZIONE

Quando un'uguaglianza è verificata solo per alcuni valori delle incognite allora si ha un'equazione. Il grado dell'equazione è dato dal valore più alto fra gli esponenti delle stessa incognite.

 

EQUAZIONE DETERMINATA - INDETERMINATA - IMPOSSIBILE

Un'equazione di primo grado si dice determinata quando ammette una sola soluzione.

Un'equazione di primo grado si dice  indeterminata quando ammette infinite soluzioni.

Un'equazione di primo grado si dice impossibile quando non ammette soluzioni.

 

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Sommando o sottraendo ad ambo i membri di un'equazione la stessa quantità si ottiene un'equazione equivalente all'equazione di partenza.

 

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per una stessa quantità (diversa da zero) si ottiene un'equazione equivalente all'equazione di partenza.

 

ESEMPIO DI UN'EQUAZIONE DI PRIMO GRADO:

2x + 3 = 7

Per risovere l'equazione (1) applico il primo principio di equivalenza

2x + 3 - 3 = 7 - 3

2x = 4 (ora per trovare il risultato si applica il secondo principio di equivalenza)

(1/2) * 2x = (1/2) 4

quindi la soluzione dell'equazione (radice) è:

x = 2.

Verifica

Per verificare se il risultato è corretto si sostituisce il valore trovato per l'incognita nell'equazione di partenza e verificare l'uguaglianza dei membri dell'equazione.

2x + 3 = 7 (sostituendo la soluzione trovata)

2 * 2 + 3 = 7

7 = 7 (l'uguaglianza è verificata quindi la soluzione dell'equazione è corretta).

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Un'equazione di secondo grado, in forma normale è del tipo:

equazione di secondo grado in forma normale

Quando l'equazione si presenta nella forma:

equazione di secondo grado pura

si dice che l'equazione è pura.

 

Quando l'equazione si presenta nella forma:

equazione di secondo grado spuria

si dice che l'equazione è spuria.

 

SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado si ottengono mediante la formula:

soluzioni dell'equazione di secondo grado

Il discriminante (o delta) dell'equazione di secondo grado è:

Discriminante dell'equazione di secondo grado

Quando il discriminante è maggiore (stretto) di 0 si ha che l'equazione ammette due soluzioni reali distinte.

Quando il discriminante è uguale a  0 si ha che l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti.

Quando il discriminante è minore di 0 si ha che l'equazione ammette soluzioni complesse coniugate.

 

 

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