Analisi Matematica

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integrazione funzioni razionali fratte teoria

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

 

Premessa

Le funzioni razionali fratte si presentano nella forma:

forma funzioni razionali fratte

ove A(x) e B(x) sono due polinomi.

  • una frazione algebrica si dice propria se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore.

  • una frazione algebrica si dice impropria se il grado del numeratore è maggiore o uguale del grado del denominatore.

 

 

Una frazione algebrica impropria si può sempre esprimere come la somma di un polinomio con una frazione algebrica propria.

Ad esempio la frazione impropria:

frazione impropria

eseguendo la divisione tra polinomi

divisione tra polinimi

si può riscrivere nella forma:

forma generica divisione tra polinomi

Dove Q(x) è il quoziente della divisione e R(x) rappresenta il resto. Visto che il grado di R(x) è minore di quello di B(x) la frazione tra R(x) e B(x) è sempre una frazione propria.

 

INTEGRAZIONE DELLE FRAZIONI PROPRIE

Nell'integrazione di una frazione propria si utilizzano diversi procedimenti a seconda della forma della frazione e di alcune sue caratteristiche.

Funzioni del tipo 1/(x-a)

il cui integrale è immediato ed è pari a:

 

Integrazione di funzioni razionali fratte

 

 

Funzioni del tipo 1/(x-a)n

anche in questo caso il calcolo dell'integrale è immediato ed è pari a:

Integrazione di funzioni razionali fratte

 

Funzioni del tipo 1/ (x2+px+q)

Per queste funzioni si distinguono tre casi riportati di seguito, a seconda del discriminante del denominatore.

 

I caso: il discriminante del denominatore è nullo

e il calcolo dell'integrale si può ricondurre alle forma nota:

integrale immediato di f(x)^n

Esempio



 

II caso: il discriminate della funzione a denominatore è positivo

questo significa che il denominatore si può scomporre nel prodotto di due fattori di primo grado, e quindi scomporre la funzione integranda come la somma di due frazioni proprie avente come denominatore tali fattori.

Esempio



III caso: il discriminate del denominatore è minore di 0. In questo caso con opportuni accorgimenti (a volte molto laboriosi) l'integrale proposto avrà per risultato l'arcotangente di un binomio di primo grado.

Esempio



 

 

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